Bernoulli Mathepräsentation

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Ober - Mörlen, 15.08.2017

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Einleitung - Jakob Bernoulli lebte von 1654- 1705. Er war einer der bedeutendsten Mathemat...
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Einleitung - Jakob Bernoulli lebte von 1654- 1705. Er war einer der bedeutendsten Mathematiker des 17. Jahrhunderts. Zunächst studierte er auf Wunsch seines Vaters Theologie, nach dem Abschluss seines Studiums widmete er sich jedoch immer mehr seiner wahren Liebe, der Mathematik und Astronomie und brachte sich seine mathematischen Kenntnisse Großteils selber bei. Im Jahre 1687 wurde er zum Professor an der Uni Basel ernannt, den Lehrstuhl behielt er bis zu seinem Tod. - Jakob Bernoulli entstammt - viele berühmte Wissenschaftler und Künstlerhervorgebracht hat. Jakob hatte einen jüngeren Bruder, Johann. Die mathematischen Leistungen der Brüder Bernoulli so eng miteinander verflochten sind, dass man über den einen nicht

Nina Roland
Waldstraße 1
61239 Ober - Mörlen

ninasheaven2 [at] gmail.co

Jakob Bernoulli 
 
Einleitung  
- Jakob Bernoulli lebte von 1654- 1705. Er war einer der bedeutendsten Mathematiker 
des 17. Jahrhunderts. Zunächst studierte er auf Wunsch seines Vaters Theologie, 
nach dem Abschluss seines Studiums widmete er sich jedoch immer mehr seiner 
wahren Liebe, der Mathematik und Astronomie und brachte sich seine 
mathematischen Kenntnisse Großteils selber bei. Im Jahre 1687 wurde er zum 
Professor an der Uni Basel ernannt, den Lehrstuhl behielt er bis zu seinem Tod.  
 
- Jakob Bernoulli entstammt einer Gelehrtenfamilie, die vom 17. Jahrhundert bis heute 
viele berühmte Wissenschaftler und Künstlerhervorgebracht hat. 
 
- Jakob hatte einen jüngeren Bruder, Johann. Die mathematischen Leistungen der 
Brüder Bernoulli so eng miteinander verflochten sind, dass man über den einen nicht 
schreiben kann, ohne den anderen zu nennen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vorstellung der Erfindungen Bernoullis 
Entdeckungen und Arbeitsschwerpunkte 
Analysis 
 
Beiträge zur Infinitesimal-und Variationsrechnung 
Die Infinitesimalrechnung ist wesentlicher Bestandteil der Analysis, einem Teilgebiet 
der Mathematik. Sie wurde unabhängig voneinander von Gottfried Wilhelm 
Leibniz und Isaac Newton entwickelt und ist heute zentrales Hilfsmittel in Natur- und . Jakob 
Bernoulli hat für die Mathematik auf verschiedenen Gebieten bedeutende Beiträge geliefert. 
Er war einer der ersten, die die Infinitesimalrechnung von Leibnitz verstanden und 
weiterentwickelten. Von ihm stammt der Begriff Integral. Nach ihm sind die Bernoulli-Zahlen 
benannt, eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen 
Zusammenhängen auftreten. Die Bernoulli´sche Ungleichung ist ein elementares aber 
wichtiges Hilfsmittel der Analysis. Er begründete die Variationsrechnung und untersuchte 
dabei wichtige Kurven und Differentialgleichungen. 
Man verdanke in der Förderung der modernen Analysis den Brüdern Bernoulli gleich viel wie 
Leibniz und Newton. 
Die Infinitesimalrechnung befasst sich mit mathematischen Funktionen und untersucht das 
Verhalten dieser Funktionen auf kleinsten Intervallen. 
Die Infinitesimalrechnung liefert eine Methode durch Bildung geeigneter Grenzwerte die 
Funktion auf beliebig kleinen (d.h. infinitesimalen) Abschnitten widerspruchsfrei zu 
beschreiben (Frühe Versuche unendlich kleine Intervalle quantitativ zu fassen waren an 
Widersprüchen gescheitert.)  
 
 
Was ist Integralrechnung?  
 
Ein Integral ist im Grunde nichts anderes als die Fläche unter einer Funktion, und zwar zwi-
schen zwei Punkten auf der x-Achse. In Bild 1 ist dies exemplarisch zu sehen: 
 
 
 
Bild 1: Integral einer Funktion

Das Integral zwischen x1 und x2 ist einfach die Fläche zwischen der x-Achse und dem 
Graphen der Funktion f(x).Mathematisch schreibt sich das Ganze so: 
 
Diese Gleichung besagt dass, die Fläche A sich aus dem Integral der Funktion f(x) zwischen x1 
und x2 berechnet. Die geschwungene Linie ist das Integralzeichen .Das "dx" beschreibt, nach 
welchem Wert integriert werden soll; hier ist es x. 
Man kann als Annäherung die x-Achse zwischen x1 und x2 in viele gleichgroße Teile x auf-
teilen und dann für jeden Teilbereich x das Produkt aus f(x) und x berechnen, wodurch 
sich jeweils die Fläche eines Rechtecks ergibt.  
 
In Bild 2 ist dies exemplarisch für einen Wert dargestellt: 
 
 
Bild 2: Integralannäherung einer Funktion 
 
Wenn man die einzelnen Flächen zusammenrechnet, erhält man als Ergebnis die 
Gesamtfläche unter dem Funktionsgraphen zwischen x1 und x2.  
Da sich durch die endliche Breite der Rechtecke kein glatter Funktionsverlauf sondern ein 
treppenförmiger Verlauf ergibt, der immer ein bisschen vom wahren Verlauf abweicht, 
handelt es sich nur um eine Näherung. Den Fehler kann man aber dadurch verringern, indem 
man die Breite x der Rechtecke sehr klein wählt, damit auch die Stufen und damit die 
Abweichung von der realen Funktion klein werden. Wenn man den Bereich zwischen x1 und 
x2 in unendlich viele Teile unterteilt, wird die Breite infinitesimal klein. Dadurch werden die 
Stufen ebenfalls infinitesimal klein und damit der Fehler Null.  
 
Beispiel

Was ist Differentialrechnung/ der Differentialquotient?  +Beispiel 
Das Differential bzw. der Differentialquotient ist nichts anderes als die Steigung einer 
Funktion in einem bestimmten Punkt. 
In Bild 1 ist dies am Beispiel einer Funktion f(x) dargestellt. Hier ist die Steigung am Punkt P = 
f(x1) als rote Gerade eingezeichnet. 
 
 
Bild 1: Ableitung in einem Punkt 
Die Steigung dieser rot dargestellten Gerade repräsentiert den Differentialquotienten im 
Punkt x1. Wenn man für jeden Punkt der Funktion f(x) die Steigung bestimmt, erhält man 
eine Funktion f'(x), die man als Ableitung der Funktion f(x) bezeichnet. Man beachte den 
Apostrophen, der die Ableitung einer Funktion kennzeichnet. Mathematisch schreibt sich 
das Ganze so: 
 
 
 
Der Differentialquotient (=Ableitung) ist also nichts anderes als eine Funktion, die die 
Steigung einer anderen Funktion in jedem Punkt beschreibt. Das bedeutet, dass für jedes x 
die Funktion f'(x) die Steigung der Funktion f(x) für genau dieses x liefert. 
 
                                        
                                                                Bild 2: Sekante an einer Funktion

Das Problem dabei ist, dass das  endlich ist, d.h. man bekommt lediglich die mittlere 
Steigung für einen kleinen Bereich , der zwischen x1 und x2 liegt. Die echte Steigung für 
einen einzigen Punkt bekommt man, indem man das  sehr, sehr klein wählt. Mathematisch 
nicht ganz korrekt sagt man umgangssprachlich oft "unendlich klein", denn dann nähert sich 
x2 beliebig nahe an x1 an. Die Differenz zwischen x2 und x1 wird so infinitesimal klein 
(="unendlich klein"), aber sie wird nicht Null. Die Differenz y2 - y1 wird dabei zwar auch 
infinitesimal klein, aber der Quotient aus diesen beiden extrem kleinen Zahlen repräsentiert 
exakt die Steigung. Die Steigung kann dabei beliebige Werte annehmen, also auch Null sein 
oder negative Werte annehmen. 
 
Wenn man eine Differenz  infinitesimal klein wählt, verwendet man dafür in der 
Mathematik den Buchstaben d, angelehnt an die Bezeichnung Differential, die man für 
"unendlich kleine" Differenzen verwendet. Somit ändert sich die Schreibweise 
von y bzw. y in dx bzw. dy, womit wir bei der schon oben gezeigten Schreibweise 
angelangt sind: 
 
 
 
Man sagt auch, dass man y nach x differenziert. 
 
Beispiel 
Das Integral hat schon allein deshalb eine wichtige Bedeutung, da es das Gegenstück zur 
Ableitung ist! Machen wir dies am dem Beispiel des Autofahrers fest. Haben wir von einem 
Autofahrer also die Gleichung, die die Geschwindigkeit des Autos während der Fahrt angibt, 
so können wir hier mit dem Integral die zurückgelegte Strecke bestimmen. Nehmen wir also 
beispielsweise das Integral der Geschwindigkeitsfunktion von 0 bis 1h, dann erhalten wir die 
währenddessen zurückgelegte Strecke, was ziemlich hilfreich ist!

Stochastik  
B.´s  Hauptwerk  " Ars Conjectandi » (= Kunst des Vermutens/Mutmaßens) 
Bernoullis Hauptwerk wurde erst nach seinem Tod veröffentlicht. Dort untersucht Bernoulli 
Zufallsprozesse und wie man das Ergebnis statistisch vorhersagen (mutmaßen) kann. Das 
Buch hat der Formalisierung der Stochastik, das heißt der Lehre vom Zufall, Auftrieb 
gegeben. 
- Über das Werk: 
- Das Werk baut auf die Wahrscheinlichkeitstheorien von Hyugens, Cardano etc. auf  
- Beschäftigt sich mit der Wahrscheinlichkeitstheorie, ist aber nicht nur die 
Wissenschaft von Glückspielen sondern von allgemeinen rationalen Vermutungen  
- Somit ist Ars Conjectandi wegweisend für die Wahrscheinlichkeitstheorie  
- Beweis und Formulierung des Gesetzes der großen Zahlen  
- Weiterentwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie 
 
Das Bernoulli - Experiment 
Als Bernoulli - Experiment bezeichnet man ein Zufallsexperiment, bei denen sich genau zwei 
Elemente in der Ergebnismenge befinden. Wir haben also einen Zufallsversuch, das nur zwei 
Ergebnisse kennt.  
Wirft man eine Münze und notiert die Folge der Resultate (Kopf oder Zahl, das heißt "K" 
oder "Z"), so führt man Bernoulli-Versuche durch. 
Beispiel: 
· Eine Münze wird geworfen. Die Münze kann auf Kopf oder Zahl fallen, es gibt somit 
nur zwei mögliche Ergebnisse. Es liegt ein Bernoulli-Experiment vor. 
Die Summe der beiden Möglichkeiten bei einem Bernoulli-Experiment muss stets 1 
betragen. Für die Münze hat sowohl das Wappen als auch die Zahl die Wahrscheinlichkeit 
0,5.  
Einer der Versuchsausgänge wird meistens mit Erfolg bezeichnet und der komplementäre 
Versuchsausgang mit Misserfolg. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit    für einen Erfolg 
nennt man Erfolgswahrscheinlichkeit und    die Wahrscheinlichkeit eines 
Misserfolgs.

Beispiele: 
· Werfen einer Münze: Kopf (Erfolg), , und Zahl (Misserfolg) . 
· Werfen eines Würfels, wobei nur eine 6 als Erfolg gewertet wird: ,  
· Qualitätsprüfung (einwandfrei, nicht einwandfrei). 
· Anlagenprüfung (funktioniert, funktioniert nicht). 
· Betrachte sehr kleines Raum/Zeit-Intervall: Ereignis tritt ein , tritt nicht 
ein  
 
Definition 
Eine diskrete Zufallsgröße   mit Werten in der Menge    unterliegt der Null-Eins-
Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter    wenn sie die folgenden 
Einzelwahrscheinlichkeiten besitzt. 
 
 und . 
 
 
Die Bernoulli - Kette 
Wird ein Bernoulli - Experiment immer mit denselben Bedingungen n-mal hintereinander 
durchgeführt, so spricht man von einer Bernoulli - Kette. 
 
Beispiel: 
Eine Münze wird 20mal hintereinander geworfen. Wir haben somit ein Bernoulli - 
Experiment, welches n = 20-mal hintereinander durchgeführt wird.

Die Bernoulli-Kette kann uns die Wahrscheinlichkeit für einen Bernoulli-Prozess sagen.  Man 
interessiert sich also nur dafür, ob ein bestimmtes Ereignis eintritt oder nicht. Eine weitere 
Voraussetzung ist, dass sich die Wahrscheinlichkeit p nicht verändern darf und das die 
Einzelexperimente stochastisch voneinander unabhängig seien müssen. Die Bernoulli-Kette 
erlaubt es uns, einen Bernoulli-Prozess einfach auszurechnen: 
Definition:  
 
 
· p ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt; 
· n ist die Anzahl der Versuche (auch Länge der Bernoulli-Kette genannt); 
· k ist die Anzahl der Treffer, die wir erzielen wollen; 
· P(X=k) sagt, dass wir die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer errechnen wollen

Gesetz der großen Zahlen 
Vor allem das von ihm entwickelten Gesetz der großen Zahlen liefert beispielsweise der Ver-
sicherungswirtschaft eine wahrscheinlichkeitstheoretische Vorhersage über den künftigen 
Schadenverlauf: Je größer die Zahl der im (Versicherungs-) Portfolio erfassten Personen oder 
Sachwerte, die von der gleichen Gefahr bedroht sind, desto geringer ist der Einfluss von Zu-
fälligkeiten. Oder anders formuliert: Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die rela-
tive Häufigkeit eines Zufallsergebnisses immer weiter an die theoreti-
sche Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis annähert, je häufiger das Zufallsexperiment 
durchgeführt wird. 
Das Gesetz der großen Zahl ermöglichte erstmals eine gesicherte mathematische berech-
nungsunbekannter Wahrscheinlichkeiten 
aus den beobachteten relativen Häufigkeiten und wurde damit zurGrundlage der Statistik. 
Das Gesetz des großen Zahlen lässt sich sehr einfach an einem Würfel erklären: Welche Au-
genzahl im Einzelfall gewürfelt wird ist immer zufällig. So kann die Wahrscheinlichkeit, dass 
eine Sechs gewürfelt wird, als ein Sechstel angegeben werden. Auf Dauer fällt jedoch jede 
Zahl gleich häufig. Bernoulli sagt nichts anderes, als dass sich die Treffer auf Dauer gleichmä-
ßig verteilen. In seinem Werk "Ars conjectandi" beschreibt Bernoulli das "Gesetz der großen 
Zahlen" auf eine sehr anschauliche Art: 
"[...] So sind zum Beispiel bei Würfeln die Zahlen der Fälle bekannt, denn es giebt für jeden 
einzelnen Würfel ebensoviele Fälle als er Flächen hat; alle diese Fälle sind auch gleich leicht 
möglich, da wegen der gleichen Gestalt aller Flächen und wegen des gleichmässig vertheilten 
Gewichtes des Würfels kein Grund dafür vorhanden ist, dass eine Würfelfläche leichter als 
eine andere fallen sollte, was der Fall sein würde, wenn die Würfelflächen verschiedene Ge-
stalt besässen und ein Theil des Würfels aus schwererem Materiale angefertigt wäre als der 
andere Theil. So sind auch die Zahlen der Fälle für das Ziehen eines weissen oder eines 
schwarzen Steinchens aus einer Urne bekannt und können alle Steinchen auch gleich leicht 
gezogen werden, weil bekannt ist, wieviele Steinchen von jeder Art in der Urne vorhanden 
sind, und weil sich kein Grund augeben lässt, warum dieses oder jenes Steinchen leichter als 
irgend ein anderes gezogen werden sollte. [] Man muss vielmehr noch Weiteres in Betracht 
ziehen, woran vielleicht Niemand bisher auch nur gedacht hat. Es bleibt nämlich noch zu un-
tersuchen, ob durch Vermehrung der Beobachtungen beständig auch 
die Wahrscheinlichkeit dafür wächst, dass die Zahl der günstigen zu der Zahl der ungünstigen 
Beobachtungen das wahre Verhältniss erreicht, und zwar in dem Maasse, dass die-
se Wahrscheinlichkeit schliesslich jeden beliebigen Grad der Gewissheit übertrifft, oder ob

das Problem vielmehr, so zu sagen, seine Asymptote hat, d. h. ob ein bestimmter Grad der 
Gewissheit, das wahre Verhältniss der Fälle gefunden zu haben, vorhanden ist, welcher auch 
bei beliebiger Vermehrung der Beobachtungen niemals überschritten werden kann, zum Bei-
spiel dass wir niemals über 1/2, 2/3 oder 3/4, der Gewissheit hinaus Sicherheit erlangen kön-
nen, das wahre Verhältniss der Fälle ermittelt zu haben. [...] 
Das Revolutionäre daran war, dass auch das scheinbar so Irrationale, Unkalkulierbare wie 
der Zufall exakten Gesetzen unterliegt und plötzlich berechenbar wird. 
 
 
 
 
Beispiel  
Würfel  ( 1; 2; 3; 4; 5; 6) 
p = 1/6  
Würfe:  - 10x    6 6 6 6 6 1 3 5 6 8  
- 30x     5x6   25x andere Zahl 
- 300x      50x6    250 x andere Zahl 
- 3 Mio. x    1/6 x 6    5/6 x andere Zahl  
 à Wahrscheinlichkeit gibt gewisse Sicherheit, pendelt sich ein, dass es fast zur Gewiss-
heit wird, minimale Abweichungen. Grundlage jedes naturwissenschaftlichen Experi-
ments, z.B. Wettervorhersage

Zusammenhänge seiner Erfindungen 
Die Bedeutung  Jakob Bernoullis Arbeiten für die Mathematik 
Indem Bernoulli ähnlich wie vor ihm einige andere Mathematiker von der Untersuchung der 
Chancen bei Glücksspielen ausgingen, erweiterte und vertiefte er die Überlegungen zu einer 
allgemeinen mathematischen Theorie, und schloss weite neue Gebiete für die Anwendung 
ein. Damit war erstmals in der Geschichte der Wissenschaften der Neuzeit eine exakte 
Disziplin begründet worden, zu der es in der Antike keinerlei Vorläufer gab. Denn, obwohl 
bereits im Alten Orient das Spiel eine Leidenschaft war, hatte man nie theoretische 
Betrachtungen daran geknüpft. Erst Dante unternahm den (allerdings unrichtig 
durchgeführten) Versuch, Gesetzmäßigkeiten ,,im Zufall" aufzuspüren. Bernoulli aber schuf 
die festen Grundlagen, auf denen sich später die physikalische, die biologische, die 
medizinische und die soziale Wahrscheinlichkeitslehre aufbauten. Bernoulli glaubte, dass 
sich auch viele moralische Urteile seiner Lehre einfugen ließen. Als einer der ersten stellte er 
die Verbreitung der Krankheiten ausdrücklich in den Rahmen der 
Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen, indem er positiv behauptete, dass auch deren Auftreten 
und Verbreitung grundsätzlich sich statistisch berechnen ließe.  
Vor Jakob Bernoulli war die Wahrscheinlichkeitsrechnung nur eine Lehre von den Chancen 
im Glücksspiel. Der Begriff Wahrscheinlichkeit wurde gelegentlich verwendet, aber der 
zentrale Begriff, um den sich alles drehte, war der Begriff Wert eines Spieles, das heißt 
Erwartungswert des Gewinnes. Jakob Bernoulli hat zuerst die Wichtigkeit des 
Wahrscheinlichkeitsbegriffes für das gesamte menschliche Leben erkannt. Er hat nicht nur 
Glücksspiele betrachtet, bei denen man Wahrscheinlichkeiten durch Auszählung von 
möglichen und günstigen Fällen apriori bestimmen kann, sondern er wandte die Grundsätze 
der Wahrscheinlichkeitsrechnung auch auf Krankheiten und Todesfälle an, bei denen man 
nicht "gleichmögliche Fälle}) auszählen kann. Er hat zuerst die Frage untersucht, wie weit 
man Wahrscheinlichkeiten empirisch durch Beobachtung von Häufigkeiten bestimmen kann. 
Er gab in seiner Ars Conjectandi einen strengen Beweis des "Gesetzes der großen Zahlen» 
und wurde dadurch zum Begründer der mathematischen Statistik. 
Er entdeckte eine generelle Methode zur Bestimmung der Evolute eines Graphen (= Kurve 
der Krümmungsmittelpunkte), untersuchte verschiedene Hüllkurven, insbesondere zu 
Parabeln, logarithmischen Spiralen und Epizykloiden, fand die Lemniskate und bewies die 
nach ihm benannte Bernoullische Ungleichung. 
Jakob I Bernoulli ahnte die Bedeutung seiner Entdeckungen. Am Schluss seiner 
Abhandlungen gab er tiefsten Meditationen Ausdruck: ,,Wenn also alle Ereignisse durch alle 
Ewigkeit hindurch fortgesetzt beobachtet würden (wodurch schließlich die 
Wahrscheinlichkeit in volle Gewissheit übergehen müsste), so würde man finden, dass alles 
in der Welt aus bestimmten Gründen und in bestimmter Gesetzmäßigkeit eintritt, dass wir

also gezwungen werden, auch bei noch so zufällig erscheinenden Dingen eine gewisse 
Notwendigkeit und sozusagen ein Fatum anzunehmen". 
 
 
Bernoulli und die logarithmische Spirale 
Verwandelt kehr ich als dieselbe wieder 
                                   
Bei der Lösung der Frage Bei welcher Kurve wird jeder vom Ursprung ausgehende Strahl 
unter dem gleichen Winkel geschnitten? entdeckt Bernoulli die Logarithmische Spirale. 
Hierbei handelt es sich um eine Spirale, die mit jeder Umdrehung den Abstand von ihrem 
Mittelpunkt, dem Pol, um den gleichen Faktor vergrößert. In umgekehrter Drehrichtung 
schlingt sich die Kurve mit abnehmendem Radius immer enger um den Pol. 
Jede Gerade durch den Pol schneidet die logarithmische Spirale stets unter dem gleichen 
Winkel. Wegen dieser Eigenschaft spricht man auch von einer gleichwinkligen Spirale. 
Er ist von den Eigenschaften der spira mirabilis  auch nach zentrischer Streckung ergibt sich 
wieder eine Spirale dieses Typs - so begeistert, dass er sich die Kurve und den Spruch Resur-
go eadem mutata (Verwandelt kehr' ich als dieselbe wieder) für seinen Grabstein wünscht, 
allerdings meißelt der Steinmetz in Unkenntnis des Unterschieds eine archimedische Spirale.  
 
Schließlich fasst Jakob Bernoulli Stochastik nicht nur als Glücksspielrechnung, sondern als 
Kunst der Vermutung auf: 
"[...] Wenn also alle Ereignisse durch alle Ewigkeit hindurch fortgesetzt beobachtet würden 
(wodurch schliesslich die Wahrscheinlichkeit in volle Gewissheit übergehen müsste), so würde 
man finden, dass Alles in der Welt aus bestimmten Gründen und in bestimmter Gesetzmäs-
sigkeit eintritt, dass wir also gezwungen werden, auch bei noch so zufällig erscheinenden

Dingen eine gewisse Nothwendigkeit, und sozusagen ein Fatum anzunehmen. Ich weiss nicht, 
ob hierauf schon Plato in seiner Lehre vom allgemeinen Kreislaufe der Dinge  hinzielen wollte, 
in welcher er behauptet, dass Alles nach Verlauf von unzähligen Jahrhunderten in den ur-
sprünglichen Zustand zurückkehrt. [...]" 
Mit anderen Worten: Die scharfsinnige "Kunst des Vermutens" sollte dann eingesetzt wer-
den, wenn unser Denken nicht mehr ausreicht, um uns die ausreichende Gewissheit bei ei-
nem zu Grunde liegenden Sachverhalt zu vermitteln.  
 
 
Quellen  
Bücher 
Das große Tafelwerk, Cornelsen Verlag 
Top im Abi, Abiwissen kompakt Mathematik, Schroedel Verlag 
Mathematik, Analytische Geometrie/ Stochastik   Band 2  Cornelsen Verlag   Bigalke, Köhle 
 
Internet 
 
Enzyklopädie:   Wikipedia   http://de.wikipedia.org/  (April, Mai 2015)   
 
Internetrecherche: 
http://www.berliner-zeitung.de/archiv/zum-250--todestag-des-mathematikers-johann-
bernoulli-am-1--januar-mit-der-erfindung-des-unendlich-kleinen-die-neue-mathematik-
erobert,10810590,9380128.html (19. April 2015)  
http://www.schweizinfo.ch/39-meine-schweiz/erfindungen/179-jakob-bernoulli.html                            
(19. April 2015) 
https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~thaeter/anasem08/Bernoulli.pdf    (19. April 2015) 
http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/bernoulli-experiment-kette.html   (19. April 
2015)

http://www.welt.de/wissenschaft/jahrdermathematik/article1969347/Jakob-Bernoulli-und-
der-Zufall.html  (19. April 2015) 
http://www.statistik.lmu.de/institut/ag/agmg/lehre/2012_WiSe/seminar_grundlagen/Endpr
%C3%A4sentation%20-%20Bernoulli.pdf  (25.April 2015)  
http://matheguru.com/stochastik/164-bernoulli-kette.html  (25. April 2015) 
https://www.risknet.de/wissen/who-s-who/jakob-i-bernoulli/  (25. April 2015) 
http://de.bettermarks.com/mathe-glossar/bernoulli-jakob-i.html  (26. April 2015) 
http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Jakob_Bernoulli.htm  (26. April 2015) 
http://www.math-grain.de/download/m2/dgl/bernoulli-1a.pdf  (26. April 2015) 
http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Infinitesimalrechnung.html  (3. Mai 2015)  
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/phbl.19550110804/pdf  (19. Mai 2015) 
http://www.spektrum.de/sixcms/media.php/924/august_2010_bernoulli.pdf  (19. Mai 2015) 
http://www.springer.com/us/book/9783764307134 (20.Mai 2015)  
http://universal_lexikon.deacademic.com/213264/Bernoulli%3A_Eine_Mathematikerfamilie  
(20.Mai 2015) 
http://www.f07.fh-
koeln.de/imperia/md/content/personen/bold_christoph/bernoullijakob.pdf (20.Mai 2015)  
http://www.elektronikinfo.de/grundlagen/integral.htm (21.Mai 2015) 
http://www.elektronikinfo.de/grundlagen/differential.htm (21.Mai 2015) 
http://brinkmann-du.de/mathe/gost/stoch_01_11.htm  (21.Mai 2015)