Integralsatz

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Prof. Dr. J. Schumacher
Institut fur Thermo- und Fluiddynamik
Technische Universitat Ilmenau
Mathematische Grundlagen: Integralsatz von Gau
Der Integralsatz von Gau verknupft den Flu eines Vektorfeldes~udurch eine geschlossene
Ober
achesmit den Quellen und Senken des Vektorfeldes im eingeschlossenen Volumen
V. In der Abbildung das Volumen dargestellt. Die Ober
acheswird komplett mit
FlachenelementendAuberdeckt. In jedem dieser Flachenelemente wird ein Flachen-
normalenvektor~nmit dem Betrag 1 deniert. Das Vektorfeld~udurchstosst im Allgemeinen
in jedem dieser Flachenelemente die Ober
ache in einer anderen Richtung als~n. Der lokale
Flu durch ein solches Flachenelement ist dann
~u~ndA:(1)
Der Gesamt
u durch die geschlossene Ober
achesfolgt zu
I
s
~u~ndA:(2)Der Satz von Gau besagt dann, dass
I
s
~u~ndA=Z
V
div~udV :(3)
Beispiel 9:Wir zeigen den Satz von Gau fur ein einfaches Beispiel. Dazu berechnen wir
erst den Flu des folgenden Vektorfeldes,~u= (x;y;z), durch die Ober
ache eines Wurfels
mit dem VolumenVund der Kantenlange 2 dessen Mittelpunkt im Punkt~x= (2;2;2)
liegt, d.h.x;y;z2[1;3]. Danach berechnen wir das Volumenintergal mit der Divergenz.
Probieren Sie erstmal selbst:schreiben Sie die 6 einzelnen Fluintegrale durch die 6
Seiten
achen auf und summieren Sie. Danach berechnen Sie das Volumenintegral.
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Losung 9:
1) Die Beschriftung der Flachen des Wurfels ist in der nachsten Abbildung gezeigt:
Der Gesamt
u durch die Ober
ache folgt somit zu:
I
s
~u~ndA=Z
A
1~u~n1dydz+Z
A
2~u~n2dxdzZ
A
3~u~n3dydz+
Z
A
4~u~n4dxdz+Z
A
5~u~n5dxdyZ
A
6~u~n6dxdy :(4)
Fur die Vorder
acheA1ist der Flachennormalenvektor folglich~n1= (1;0;0); fur die
Hinter
acheA3ergibt sich~n3= (�1;0;0). Der Flu durch die Ober
acheA6(fur die
anderen Flachen in der selben Art und Weise) folgt somit zu:
Z
A
6~u~n6dxdy=Z
3
1Z
3
11(�1)dxdy=�4;(5)
da~u= (x;1;z) und~n6= (0;�1;0) ist. FurA1bisA6zusammen folgt aus (4)
I
s
~u~ndA= 12 + 12�4�4 + 12�4 = 24 (6)
2) Mit div~u= 3 folgt das Volumenintegral zu
Z
V
div~udV=Z
3
1Z
3
1Z
3
13dxdydz= 24;(7)
und damit ist die Gleichheit beider Integrale gezeigt.
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